JoBlogg

Er du glad i sannsynlighetsregning? Her er en utfordring som du kanskje kan løse.

I TV-programmet Jakten på den 6. sans får klarsynte deltagere muligheten til å bevise sine evner gjennom ulike tester. I en av testene ble deltagerne stilt overfor en gruppe mennesker. De skulle da benytte synskheten til å sette sammen fire riktige par fra gruppen på åtte personer. Et riktig par kunne for eksempel være far og sønn. (Merk: Å se at far og sønn er i slekt, er strengt talt ikke et under.)

I den forbindelsen forsøkte en Twitter-bruker å regne ut sannsynligheten for å sette sammen fire riktige par fra en gruppe på åtte individer. Oppgaven viste seg å være vanskeligere enn man først skulle tro, og andre kastet seg inn i diskusjonen med sine innspill. Ved å mane fram glemte kunnskaper innen statistikk og sannsynlighetsregning, fra nedstøvete krinker og kroker et sted i hjernen, kombinert med en dæsj åndemakt, endte vi opp med noen løsningsforslag.

Men nå lurer jeg veldig på fasitsvaret og ser ikke bort fra at dette kommer til å holde meg våken i natt (nja). Så hvis en ekspert på sannsynlighetsregning tilfeldigvis ramler innom bloggen og tilfeldigvis vet hvordan utregningen skal gjøres,ville det blitt satt stor pris på.

Mitt nyeste løsningsforslag

Siden jeg ikke så TV-programmet, er jeg usikker på hvordan utvelgelsen av par ble gjort. Jeg har derfor gått ut fra at alle de åtte sto samlet i en gruppe. Situasjonen ville vært annerledes hvis de var delt i to grupper på fire, som skulle kobles, men jeg går som nevnt ut fra at alle sto i en klynge.

Ifølge nettstedet QuickMBA er det n*(n-1)/2 mulige kombinasjoner av uordnede par i en gruppe på n antall medlemmer. At et par er uordnet, vil si at paret AB er det samme som paret BA. Man kan se at formelen er riktig ved å notere ned alle kombinasjonene.

For eksempel vil en gruppe med medlemmene A, B, C, D ha følgende mulige par:

• A kan kombineres med B, C, D (3 stk. par)
• B kan kombineres med A, C, D (3 stk. par)
• C kan kombineres med A, B, D (3 stk. par)
• D kan kombineres med A, B, C (3 stk. par)

Vi har da 4*3 mulige par, som tilsvarer n*(n-1). I og med at parene skal være uordnede, slik at AB og BA regnes som samme par, deler man på 2. Man får da n*(n-1)/2.

Utvalg uten tilbakelegging

Alle kombinasjonene vil ikke kunne opptre samtidig, for eksempel kan ikke A både være i paret AB og AC på samme tid, men i denne sammenhengen skal kun ett par trekkes ut om gangen. Man trekker ut et tilfeldig par fra alle de mulige kombinasjonene. Når man har valgt et par, tas det ut av gruppen. Gruppen blir dermed mindre. Deretter velger man et nytt par fra mulighetene som er igjen. For hvert par som velges ut av gruppen, minker gruppestørrelsen. Antallet gjenværende kombinasjoner minker for hver gang et par velges.

Gruppen på åtte personer

Åtte personer gir 8*7/2 = 28 mulige par. 4 par er riktige. Sannsyligheten for å velge et av de riktige parene er lik antall riktige par delt på antall mulige par. I dette tilfellet 4/28.

Etter det første paret er trukket ut, står 6 personer igjen. Dette gir 6*5/2 = 15 mulige par. Tre av de mulige parene er riktige. Dette gir 3/15.

Det er nå 4 personer igjen, 6 mulige par, 2 riktige par: 2/6

Til slutt er det kun 2 personer igjen. Dette gir ett mulig par, hvorav ett par er riktig: 1/1

Oppsummering

Med utgangspunkt i tallene fra forrige avsnitt, blir sannsynligheten for å sette sammen fire riktige par fra åtte personer lik: (4/28) * (3/15) * (2/6) * (1/1) * 100 % = 0,95 %

Det store spørsmålet er om denne utregningen stemmer eller om den er like langt ute på jordet som enkelte av de selvutnevnte synske i Jakten på den 6. sans?